Support Vector Machines quantistici per il credit scoring
Verifica empirica del confronto tra modelli classici e quantum-enhanced su bilanci sintetici
Paolo Volterra 
I metodi kernel quantistici sono proposti come alternativa ai classificatori classici in ambito finanziario. Uno studio recente confronta Support Vector Machines e Support Vector Regression classici con le rispettive versioni quantum-enhanced su tre problemi di credit scoring e riporta un vantaggio dei modelli quantistici, soprattutto nella classificazione multiclasse. Questo documento riproduce il confronto su un campione sintetico di 4.000 imprese costruito a partire dagli indici dell’Altman Z-score. Con lo stesso protocollo di validazione e con i quantum kernel calcolati in simulazione esatta dello statevector, i modelli classici eguagliano o superano i modelli quantistici su tutti e tre i problemi: il divario è statisticamente significativo a favore dei classici nella regressione e nella classificazione multiclasse, mentre nella classificazione binaria i due approcci sono alla pari (area sotto la curva ROC identica). Il risultato non conferma il vantaggio riportato in letteratura e suggerisce cautela nell’interpretare i confronti tra metodi quantistici e classici quando il dataset di riferimento non è pubblicato e il tuning degli iperparametri non è simmetrico.
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Versione citabile su Zenodo, con il PDF: doi.org/10.5281/zenodo.22804103.
1 Introduzione
Le Support Vector Machines (SVM) sono classificatori supervisionati introdotti da Cortes e Vapnik nel 1995 [1]. La loro formulazione si fonda sull’individuazione di un iperpiano che separa due classi massimizzando il margine, cioè la distanza minima tra l’iperpiano e i punti più vicini di ciascuna classe. La versione “soft margin” tollera violazioni del margine tramite variabili di rilassamento, mentre le funzioni kernel consentono di separare dati non linearmente separabili proiettandoli implicitamente in uno spazio di dimensione superiore. Nella valutazione del merito creditizio questi strumenti sono impiegati da decenni e si appoggiano a indicatori consolidati come l’Altman Z-score, una combinazione lineare di cinque rapporti di bilancio introdotta nel 1968 per stimare la probabilità di insolvenza di un’impresa [2].
Negli ultimi anni l’interesse si è esteso ai metodi kernel quantistici. L’idea di fondo è sostituire la mappa di feature classica con una mappa che prepara uno stato quantistico a partire dai dati e di misurare la similarità tra due osservazioni come sovrapposizione tra stati [3], [4]. Il vantaggio computazionale prospettato dei primi algoritmi quantistici per le SVM richiede l’accesso a memorie quantistiche e a inversione di matrici con condizioni numeriche favorevoli [5], condizioni che hanno indirizzato la ricerca verso l’approccio basato sui kernel, più adatto alle macchine quantistiche attuali.
Uno studio recente applica questo approccio al credit scoring, confrontando Support Vector Regression e Support Vector Machines classici con le rispettive versioni quantum-enhanced su tre problemi: una regressione sulla probabilità di default, una classificazione binaria di default e una classificazione multiclasse per classi di rating [6]. Il lavoro riporta che i modelli quantistici ottengono prestazioni competitive e, in particolare nella classificazione multiclasse, un miglioramento di diversi punti percentuali rispetto ai modelli classici.
Questo documento verifica quel confronto su dati indipendenti. La domanda è se il vantaggio riportato si riproduca quando il campione è costruito in modo trasparente e gli iperparametri dei due modelli sono trattati in modo simmetrico.
2 I modelli a confronto
2.1 Support Vector Machines e Support Vector Regression classiche
In un problema di classificazione binaria con \(N\) osservazioni \((x_i, y_i)\), dove \(x_i \in \mathbb{R}^n\) è il vettore delle feature e \(y_i \in \{-1, 1\}\) l’etichetta, la SVM cerca l’iperpiano \(w^T x + b = 0\) che massimizza il margine. La formulazione con margine morbido minimizza
\[\min_{w, b, \xi} \; \frac{1}{2}\|w\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i \quad \text{con} \quad y_i(w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \; \xi_i \geq 0,\]
dove \(C\) regola il compromesso tra ampiezza del margine e penalizzazione degli errori. Passando alla formulazione duale, la soluzione dipende solo dai prodotti scalari tra le osservazioni, il che consente di introdurre la funzione kernel \(K(x_i, x_j)\) al posto del prodotto scalare. I kernel più usati sono quello lineare, quello polinomiale e quello gaussiano (radial basis function). La regressione con SVM (SVR) estende lo stesso impianto al caso di una variabile dipendente continua, introducendo una fascia di tolleranza di ampiezza \(2\varepsilon\) entro cui gli errori non vengono penalizzati.
2.2 Kernel quantistici
Nella versione quantistica, ogni osservazione \(x\) viene codificata in uno stato quantistico \(|\phi(x)\rangle = U_\phi(x)|0\rangle\) tramite una mappa di feature realizzata con un circuito quantistico. Il kernel quantistico è definito come la sovrapposizione tra due stati, \(k_Q(x_i, x_j) = |\langle \phi(x_i) | \phi(x_j) \rangle|^2\). Una proprietà rilevante è che l’ottimizzazione del problema duale resta affidata a un solver classico: l’elemento quantistico è confinato alla codifica dei dati e al calcolo della matrice dei kernel, mentre il bias e la funzione di decisione sono calcolati in modo classico [3].
In questo lavoro la matrice dei kernel è calcolata in simulazione esatta dello statevector, senza misurazioni quantistiche. Il confronto, quindi, riguarda la geometria dello spazio di feature indotto dalla codifica quantistica, non un guadagno computazionale su hardware quantistico.
3 Dati sintetici
Il campione utilizzato è composto da 4.000 imprese simulate. La simulazione genera bilanci internamente coerenti, in cui il totale dell’attivo coincide con la somma di passività e patrimonio netto, e attribuisce a ciascuna impresa uno di sette archetipi economico-finanziari: impresa sana e stabile, in crescita, con margini bassi, indebitata, in tensione di liquidità, in crisi e in recupero. Gli archetipi definiscono intervalli plausibili per ricavi, crescita, margine operativo, leva finanziaria, patrimonio netto e ciclo del capitale circolante.
Da ciascun bilancio si derivano i cinque rapporti dell’Altman Z-score: capitale circolante su attivo, utili trattenuti su attivo, risultato operativo su attivo, capitalizzazione di mercato su passività totali e ricavi su attivo. Combinandoli con i pesi originali dello Z-score si ottiene l’indice sintetico di solidità.
Il campione alimenta tre problemi distinti. Nel primo la variabile dipendente è la probabilità di default, espressa in percentuale, con distribuzione fortemente asimmetrica a destra. Nel secondo la variabile dipendente è una indicazione binaria di default. Nel terzo la variabile dipendente è una classe di rating da A a E, assegnata per intervalli dell’Altman Z-score secondo la stessa griglia adottata nello studio di riferimento, con l’aggiunta di un rumore ordinale che sposta una quota contenuta di osservazioni verso la classe adiacente. Questo rumore è necessario perché, in assenza di esso, il rating è una funzione deterministica degli stessi cinque rapporti usati come variabili esplicative e il problema risulta linearmente separabile.
La coerenza contabile del campione è verificata imponendo le identità dello stato patrimoniale, quelle interne al conto economico e quelle di collegamento tra i due prospetti, secondo il Codice civile [7] e i principi contabili nazionali [8]. I bilanci sono rappresentati nella struttura civilistica per voci: immobilizzazioni immateriali, materiali e finanziarie; crediti e debiti distinti entro e oltre l’esercizio; ratei e risconti attivi e passivi; fondi rischi e oneri e trattamento di fine rapporto; imposte correnti, differite e anticipate; patrimonio netto per componenti con il relativo roll-forward; conto economico a valore e costi della produzione. Le identità (38 controlli) risultano rispettate dall’intero campione.
4 Protocollo sperimentale
I tre problemi sono valutati con lo stesso protocollo. Per ogni configurazione di iperparametri si applica una validazione incrociata a cinque partizioni, ripetuta su più semi casuali. La standardizzazione delle variabili è stimata solo sulla parte di addestramento di ciascuna partizione, per evitare contaminazione tra addestramento e valutazione; per i modelli quantistici si usa una normalizzazione nell’intervallo unitario, adatta alla codifica in angoli di rotazione.
Per i modelli classici si esplorano la regolarizzazione \(C\), il parametro \(\varepsilon\) della regressione e il coefficiente \(\gamma\) del kernel gaussiano, insieme ai kernel lineare, polinomiale e gaussiano. Per i modelli quantistici si esplorano diverse mappe di codifica: la mappa ZZ, la codifica a rotazione sui tre assi, le mappe di Pauli con diversi insiemi di operatori e connettività circolare o completa, e una mappa con rotazioni di fase e porte di entanglement.
La selezione del modello segue due stadi. Prima si scartano le configurazioni con un divario eccessivo tra prestazione in campione e fuori campione, misurato da un rapporto di divario rispetto alla prestazione fuori campione. Tra le configurazioni ammissibili si sceglie quella con la migliore prestazione fuori campione, usando il divario come criterio di spareggio. Per la classificazione si impone inoltre una soglia minima di accuratezza fuori campione.
5 Risultati
5.1 Modelli classici sul campione completo
Sul campione completo di 4.000 imprese, valutato su cinque semi casuali, i modelli classici raggiungono i risultati della Tabella 1. La regressione seleziona in tutti i semi un kernel gaussiano con regolarizzazione alta; l’errore quadratico medio fuori campione è pari a 1,92 in media, con una variabilità molto contenuta tra i semi. La classificazione binaria raggiunge un’accuratezza fuori campione di 0,910, con un’area sotto la curva ROC di 0,974, e la classificazione multiclasse di 0,886. I divari tra prestazione in campione e fuori campione sono contenuti, a indicare modelli stabili.
| Problema | Metrica fuori campione | Media e deviazione standard | Intervallo |
|---|---|---|---|
| Regressione sulla probabilità di default | Errore quadratico medio | 1,924 ± 0,036 | 1,892–1,995 |
| Classificazione binaria di default | Accuratezza | 0,9100 ± 0,0005 | 0,9092–0,9105 |
| Classificazione multiclasse di rating | Accuratezza | 0,8860 ± 0,0017 | 0,8827–0,8877 |
5.2 Confronto tra modelli classici e quantistici
Il confronto diretto tra le due famiglie di modelli è condotto sullo stesso sottocampione, sugli stessi semi casuali e sulle stesse partizioni, così che ogni differenza sia attribuibile al modello e non al campionamento. La differenza è riportata come prestazione quantistica meno prestazione classica; per la regressione un valore positivo indica un errore maggiore del modello quantistico. Oltre al test di Wilcoxon sui ranghi con segno si riporta un intervallo di confidenza bootstrap appaiato sulle osservazioni fuori campione. I risultati sono riportati nella Tabella 2.
| Problema | Classico | Quantistico | Differenza | Wilcoxon (p) | Bootstrap Δ [95%] |
|---|---|---|---|---|---|
| Regressione (RMSE, minore è meglio) | 1,935 | 3,512 | +1,577 | 0,002 | +1,821 [0,972, 2,527] |
| Classificazione binaria (accuratezza) | 0,9217 | 0,9233 | +0,002 | 0,500 | +0,002 [−0,003, 0,008] |
| Classificazione multiclasse (accuratezza) | 0,8600 | 0,8083 | −0,048 | 0,004 | −0,048 [−0,063, −0,031] |
Il test di Wilcoxon sui ranghi con segno, applicato in modo appaiato sulle osservazioni delle singole partizioni, e il bootstrap appaiato concordano: nella regressione e nella classificazione multiclasse il divario a favore del modello classico è statisticamente significativo, mentre nella classificazione binaria le differenze non sono distinguibili dal rumore di campionamento e l’area sotto la curva ROC è praticamente pari (0,978 contro 0,977). Il confronto è stato ripetuto su un sottocampione più ampio di 1.200 imprese, con lo stesso esito: il modello classico resta significativamente migliore su regressione e multiclass e alla pari sulla binaria.
L’esame delle singole mappe di codifica mostra che la profondità del circuito non porta benefici sistematici: la mappa ZZ con una ripetizione è la migliore nella regressione, mentre nella classificazione le mappe a rotazione e la mappa di Pauli con operatori {Z, ZZ} risultano competitive ma restano al di sotto del modello classico. Le codifiche con entanglement circolare o completo non superano le mappe più semplici su questo campione. Un valore basso della regolarizzazione, pari a quello ottimale del modello classico, porta il classificatore quantistico a una capacità di adattamento insufficiente.
5.3 Confronto con lo studio di riferimento
Lo studio di riferimento riporta, sul proprio campione, un errore quadratico medio tra 2,62 e 3,09 per la regressione classica, un’accuratezza di 0,941 per la classificazione binaria classica contro 0,956–0,961 per quella quantistica, e un’accuratezza di 0,854 per la classificazione multiclasse classica contro 0,929 per quella quantistica [6]. Nel campione qui costruito i modelli classici raggiungono prestazioni confrontabili o migliori, mentre i modelli quantistici restano al di sotto dei classici su tutti e tre i problemi, con un divario significativo in due casi su tre.
6 Discussione
Tre elementi aiutano a interpretare la divergenza rispetto allo studio di riferimento.
Il primo riguarda la simmetria del confronto. Nello studio di riferimento gli iperparametri ottimali del modello classico vengono applicati direttamente al modello quantistico, senza una ricerca dedicata. Nel campione qui utilizzato un valore basso della regolarizzazione, ottimale per il modello classico, porta il classificatore quantistico a una capacità di adattamento insufficiente: la matrice dei kernel presenta valori fuori diagonale molto bassi e il margine tra le classi non viene appreso. Solo aumentando la regolarizzazione il modello quantistico recupera capacità, restando comunque al di sotto del classico.
Il secondo riguarda la natura del problema multiclasse. Le classi di rating sono definite per intervalli dello stesso indice calcolato a partire dalle variabili esplicative, quindi in assenza di rumore il problema è deterministico e separabile quasi perfettamente da un modello lineare. Su un problema di questo tipo un vantaggio dei kernel quantistici rispetto a quelli classici è difficile da giustificare sul piano metodologico.
Il terzo riguarda la riproducibilità. Il campione dello studio di riferimento è simulato e non risulta pubblicato, per cui le differenze osservate possono dipendere dalla procedura di generazione dei dati oltre che dai modelli. La verifica condotta qui non può quindi stabilire se il vantaggio riportato sia errato, ma mostra che esso non si riproduce su un campione costruito in modo indipendente e con un trattamento simmetrico degli iperparametri.
Il quarto riguarda la natura stessa del vantaggio. Un’analisi di sensibilità sul processo generativo, in cui la frontiera tra le classi diventa progressivamente non lineare attraverso interazioni a coppie tra i ratio, mostra che il modello quantistico non supera mai quello classico quando il processo è realistico, nemmeno ai massimi livelli di non linearità. Il vantaggio quantistico compare soltanto quando le etichette sono generate dallo stesso kernel quantistico, cioè in una configurazione circolare costruita a tavolino. Ne segue che un eventuale vantaggio è una proprietà della geometria dei dati, condizionata alla coincidenza con la mappa di feature usata, e non un risultato generale applicabile al credit scoring.
7 Conclusione
Il confronto tra Support Vector Machines classiche e quantistiche applicato al credit scoring è stato riprodotto su un campione sintetico di 4.000 imprese coerenti con gli indici dell’Altman Z-score. Con i kernel quantistici calcolati in simulazione esatta dello statevector e con lo stesso protocollo di validazione per le due famiglie di modelli, i classificatori e regressori classici eguagliano o superano quelli quantistici su tutti e tre i problemi considerati. Il divario è statisticamente significativo a favore dei modelli classici nella classificazione multiclasse, e non significativo nella regressione e nella classificazione binaria.
Il risultato invita a interpretare con cautela i confronti tra metodi quantistici e classici quando il dataset di riferimento non è pubblico e il tuning degli iperparametri non è simmetrico. Le direzioni di sviluppo naturali sono l’estensione della verifica a campioni reali di bilanci, l’uso di test di significatività più potenti e la valutazione dell’effetto del rumore su hardware quantistico reale.
Una prima verifica su dati reali (UCI Polish Companies Bankruptcy, 10.503 imprese, 64 indici di bilancio) conferma il quadro [9]: i bilanci reali sono molto meno separabili di quelli sintetici (l’Adjusted Rand Index del clustering rispetto allo stato di fallimento è circa zero) e il potere predittivo è più basso (ROC-AUC 0,87 con Random Forest, contro 0,97 sul campione sintetico). Sul sottoinsieme dei rapporti tipo-Altman, il classificatore quantistico non supera in modo significativo quello classico (ROC-AUC 0,724 contro 0,707, p=0,232). La verifica è stata estesa a un secondo campione reale (Taiwanese Bankruptcy, 6.819 imprese) [10], con esito analogo (ROC-AUC 0,936, quantum e classico indistinguibili, p=0,820), e a un obiettivo multiclass ordinale reale costruito sull’orizzonte di fallimento (da uno a cinque anni), dove l’accuratezza bilanciata resta vicina al caso (0,25) e i due approcci restano equivalenti. Il problema multiclass reale è quindi molto meno separabile di quello sintetico, e il vantaggio multiclass rivendicato dallo studio di riferimento non trova conferma nemmeno su di esso.
Nota metodologica
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